Một phép tính đơn giản

Cho tích phân lặp

∫ ( ∫ ( x + y ) d x ) d y {\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}

tích phân

∫ ( x + y ) d x = x 2 2 + y x {\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}

được tính trước và rồi kết quả được sử dụng để tính tích phân đối với y.

∫ ( x 2 2 + y x ) d y = y x 2 2 + x y 2 2 {\displaystyle \int ({\frac {x^{2}}{2}}+yx)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}

It should be noted, however, that this example omits the constants of integration. After the first integration with respect to x, we would rigorously need to introduce a "constant" function of y. That is, If we were to differentiate this function with respect to x, any terms containing only y would vanish, leaving the original integrand. Similarly for the second integral, we would introduce a "constant" function of x, because we have integrated with respect to y. In this way, indefinite integration does not make very much sense for functions of several variables.

Tính quan trọng của thứ tự

Thứ tự của các tích phân được tính rất quan trọng trong việc tính tích phân lặp, đặc biệt khi hàm lấy tích phân không liên tục trên miền của tích phân. Ví dụ, trong đó các trình tự khác nhau dẫn đến kết quả khác nhau thường cho các hàm phức tạp như một trong các ví dụ sau.

Cho chuỗi 0 < a 1 < a 2 < ⋯ {\displaystyle 0<a_{1}<a_{2}<\cdots } , sao cho  a n → 1 {\displaystyle a_{n}\rightarrow 1} . Đặt g n {\displaystyle g_{n}} là hàm liên tục không triệt tiêu trong khoảng ( a n , a n + 1 ) {\displaystyle (a_{n},a_{n+1})} và bằng không ở các khoảng khác, sao cho ∫ 0 1 g n = 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}  với mọi  n {\displaystyle n} . Xác định

f ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( g n ( x ) − g n + 1 ( x ) ) g n ( y ) . {\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }(g_{n}(x)-g_{n+1}(x))g_{n}(y).}

Trong tổng kết trước, tại mỗi khoảng ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} , cụ thể, có nhiều nhất một số hạng khác không.Với hàm này ta có

∫ 0 1 ( ∫ 0 1 f ( x , y ) d y ) d x = 1 ≠ 0 = ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 f ( x , y ) d x ) d y {\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy} [1]